整体结构设计，提升数学思维

                          ——以四年级上册“角”的教学为例

 

【摘要】结构教学是一种教学思想，它以人的成长发展为长远目标，依据儿童发展的内在规律，从各领域特有的育人价值的视角出发整体设计，将长远目标转化为各个阶段的具体目标，实施过程性培养，让学生获得更为精彩的成长体验。结构教学的实践探索，有利于教师逐步形成整体综合的思维方式，也有利于学生对知识形成结构化的认识，并逐渐形成结构化的思维方式，学生的学习也因为有了结构的支撑而更加主动。

    【关键词】结构教学   主动学习    精彩成长

 

新课程改革的推进一定程度上提高了教师对数学教育的再认识和再实践能力，课堂教学也发生了一些新的变化。大纲中明确指出：“教学时要注意揭示知识间的内在联系。”也就是要加强结构的教学。简明、清晰的知识结构不仅知识的包容量大，而且蕴含着对新、旧知识的联接、转换与调控的巨大功能。如何在整体把握教材——“基于教材”的基础上，进行结构化教学——“超越教材”，并通过整体结构化的教学过程设计，优化学生的认知结构，实现数学学科育人价值的最大化？是一线教师必须思考的问题。

本文期待以苏教版四年级上册“角”这一单元的整体结构设计为例，来谈谈实践中的一些做法。

一、结构化剖析课程资源

1.教材资源

苏教版教材在二年级上册安排了线段的初步认识，二年级下册安排了角的初步认识，本单元在学生直观认识线段、角、锐角、直角、钝角的基础上，一方面整体认识线段、射线和直线的特征，一方面从量化刻画层面深入认识角。线段、射线和直线的特征的单一认识是两条直线的关系认识的基础，而“线”和“角”作为平面图形构成的基本要素，是后续从“边”和“角”的数量关系的纬度探究平面图形特征的基础。

教材安排了五部分内容： 射线和直线的概念，角的概念，用量角器度量角的度数，锐角、直角、钝角、平角与周角，画指定度数的角。教材非常重视利用现实生活资源学习新知，例如，联系现实生活中的灯光认识射线，举例说明亮点确定一条直线在生活中的应用，找出生活中的平角和周角，联系钟面上分针转动来认识角的大小及其变化等等。

2.学生资源

在学习本单元知识前，学生对线段、角、锐角、直角、钝角有了直观认识，知道线段是直直的、可以度量，还知道角的各部分名称，能通过直观比较钝角、直角、锐角的大小。这些已有的知识和认知水平，能帮助学生理解新内容，主动建构新的知识体系。

学习本单元知识，学生也会碰到一系列困难。一是概念混淆，在“直线”这一概念学习之前，学生往往会把所有“直的线”统称为“直线”。二是想像困难，射线与直线都有“笔直的无限地延长”这样的涵义，学生很难通过想象并体会到，尤其是直线向两端无限延长，生活中几乎找不到原型。如果不能理解把线段无限延长，就难以建立射线和直线的表象。三是注重结果，第一次使用量角器，学生很有新鲜感，但是仅仅满足于准确使用量角器度量，忽视量角器的发明和度量单位形成体验。四是操作困难，一些学生面对开口朝向不一的角，把量角器正确摆到角的上面会很困难，从左往右看刻度线也是难点。教学中要合理地利用学生的问题资源，组织师生互动、生生互动，以促进教学目标的达成。

3.信息技术资源

“角的度量”一课，教学目标之一就是初步学会用量角器量角并准确读数。在传统的课堂教学中，教师会使用较大的木质量角器或透明的大量角器，其弊端有很多：其一，尽管教具比学具大很多，但教具上面刻度太多，台下的学生根本看不清刻度数字，学习读刻度也就“雾里看花”了；其二，木质的量角器不透明，一旦黑板上所画角的两边较短，就无法直接看到角的一边与0刻度线重合，必须要把角的边延长，无形中降低了课堂效率。教学中可以开发利用白板中的内置工具——电子量角器，清楚地体现“角的顶点与量角器的中心重合”、“角的一条边与0刻度线重合”、“角的另一条边所对的刻度就是角的度数”等量角注意事项。同时结合电子笔的书写功能，把读数的方法简洁地表达出来（如图）。通过信息技术资源的开发，“拨开云雾见真理”，扫除学生学习量角读数的外在障碍，让课堂更具有效性。

 

 

 

 

 

二、结构化设计课程目标

基于教材资源和学生资源的结构化分析，可以制定单元目标如下：

1.在辨析、比较的过程中整体认识三种形态的直的线（线段、射线和直线），了解它们的特征、关系及表示方法。

2.在操作活动中体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。

3.在直观认识角的基础上建立角的概念，知道角是有公共端点的两条射线组成的平面图形，知道角还是一条射线绕着它的端点在平面内旋转所形成的图形。

4.在初步认识锐角、直角和钝角的基础上，通过角的运动变化从量化刻画层面认识锐角、直角、钝角、平角和周角的内涵，探索了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关。

5.经历量角的度量工具和度量单位的形成过程，能用量角器量指定度数的角，能根据度数灵活选择合适的工具画角。

三、结构化实施教学变革

    1.变革概念学习的方法——从割裂认识到整体把握。

教材有关线段、射线、直线的编排体系是：将线段作为原始概念，也就是不定义概念，在二年级上册用“这样的可以看成线段”来处理，到本单元，教材从线段出发，引出射线和直线，认识线段、射线、直线之后再在练习中安排分类活动。这样的安排存在一定的人为割裂现象。如何从整体入手认识“线”，并在分化中清晰三种线各自的概念内涵？教师可以先从连“点”成“线”这一形象演示出发，引出线段，并从实物原型中把各种各样的线剥离抽象出来（如图），

 

 

 

 

 

通过“生活中有许许多多的线，到底有哪些情况呢？”这一问题的提出，引导学生自主分类分析，从各类

“线”的整体中层层分化出 “直的线的三种情况”，初步感受线段、射线、直线的特点。然后再进行聚类分析，以线段为新知识的生长点，重温线段图例的表示、线段特征的表达方法，然后类比线段的学习方法，研究射线和直线的图例表示和特征，过程中借助媒体演示，让学生观察生活中的数学现象，从数学的角度认识射线、直线，打破直的线就是直线的错误理解。最后，再借助表格让学生梳理沟通线段、射线、直线的区别和联系，帮助学生对这些概念的本质特征形成既清晰又丰富的系统认识（如下表）。

	图例（用字母表示）	特征			关系
		端点个数	可否延伸	可否度量
线段	A         B 读作：线段AB（BA）	2	可	可	线段、射线、直线都是直的， 线段、射线都是直线的一部分。
a   射线	O         B 读作：射线OB	1	否	否
直线	A          B 读作：直线AB（BA）       直线a	0	否	否

2.开发知识形成中的育人价值——从知识传递到经历生成。

在“用量角器度量角的度数”一课，教材首先安排了一个例题，要求学生用三角尺上的角去度量这个角的大小。用三角尺上的哪一个角量，学生可以自由选择。由于三角尺上角的大小不同，所以学生测量的结果和表达各不相同。这道例题的目的是让学生体会并产生需要——为了准确测量角的大小，要有统一的计量单位和度量工具。而实际的教学中，许多教师会忽视这一例题的教学，把重心放在认识量角器以及如何准确使用量角器上，忽视了量角器的发明和计量单位的形成过程对于学生成长的重要价值。

度的概念对于学生来说不仅是遥远的历史，更是抽象的概念，不仅远离学生，更外在于学生，它是前人生命实践的成果和经验的结晶。教师在教学中不能仅仅关注表面的符号化的认识，仅仅关注知识的传递价值，要带领学生经历前人生命实践活动的过程，使固化的符号化知识得以激活。在经历计量单位和度量工具的生成中，一方面让学生真正体会到计量单位和度量工具统一的必要性，它是基于现实生活的需要，在借助中介间接比较的过程中，会因为比较标准不一致带来交流困难；一方面让学生感受到量角器以及计量单位的产生体现了人类创造的智慧，是前人智慧的集聚表现。从这个意义上说，这是一种习得和形成智慧的教学，唯有这样的教学才能体现促进学生成长发展的价值。

四、结构化推进教学过程

1.在生活现象中体会射线和直线的本质特征。

在第一学段，学生已经认识了线段，知道线段的长度是有限的，可以用尺度量。本册教材以线段为新知识的生长点，继续教学射线和直线。射线和直线都是把线段“无限延长”得到的几何图形，学生理解“无限延长”会比较困难。因此，教学中首先要从生活现象引入，帮助学生想像“无限延长”。可以播放动画，在美丽的夜晚有许多激光在闪烁，这些激光从一点出发向天空射去，射得很远很远，当激光遇到另一个星球阻挡，这条光线可以看作线段（如图1），如果激光在发射的过程中没有遇到阻挡物，这条光线可以看作射线（如图2），让学生形象地感受射线的特征——直直的，能向一端无限地延长。在认识射线后，继续播放动画，激光只能向这个方向发射吗？如果同时向反方向发射，而且在发射的过程中也没有遇到阻挡物，这条光线就可以看作直线。接着在黑板上画一条线段，把线段的两端延长，并让学生想像，如果把线段向两边无限延长，也能得到一条直线（如图3）。让学生感受到直线的特征——直直的，能向两端无限地延长。

 

 

 

 

 

          图1                      图2                        图3

2.在活动中认识各种大小的角的内涵和关系。

在二年级下册，学生初步认识了锐角、直角和钝角，并知道锐角比直角小，钝角比直角大。那时的认识，处在直观、初步的层面上。本单元里继续认识锐角、直角和钝角，建立在这些角的度数（即量化刻画）层面上；而平角和周角，都是本单元教学的新知识。为了帮助学生更好地认识各种大小的角，教学中可以安排各种丰富的学习活动。例如，课前制作活动角，课上转动活动角的一条边，可以得到大小不同的角，一方面帮助学生发展对角的认识，从运动变化的视角理解角是一条射线绕着它的端点在平面内旋转所形成的图形；一方面借助活动角引导学生分类认识角，发现锐角小于90°，直角等于90°，钝角大于90°又小于180°，平角是180°，周角是360°。在认识直角、平角和周角以后，鼓励学生用不同的方式研究角的大小关系：可以借助直观图形，凭直觉说出相互关系，也可以通过180÷90、360÷90这些计算发现关系。最后可以把学生的视角引向生活，在物体的表面上找到认识的角；在钟面上观察时针和分针组成的角；对折圆形的纸，折出直角，打开成平角和周角等，让学生在丰富的活动中深刻认识各种大小的角的内涵和关系。

3.在画角中唤醒学生判断与选择的自觉意识。

在“画指定度数的角”一课，要注意灵活运用的原则，重视学生判断与选择的自觉意识的培养。例如，例题中要画一个60°的角。不要规定用什么工具画，只要能画出60°的角，使用什么工具都可以。通过自己动手画角和学生间的交流，他们能够明白在画30°、45°、60°、90°这些角时，用三角尺比较方便，画其他度数的角，用量角器比较好。再如，练习中要求学生说出一副三角尺拼成的角的度数，一是进一步加强对角的认识。两块三角尺拼起来，原来的两个较小的角拼成一个较大的角。较大角的顶点在哪里？两条边在哪里？这些问题涉及的是角的概念。二是巩固三角尺上各个角度数的记忆。拼成的角是多少度不是用量角器量的，而是通过三角尺上各个角的度数计算的。三是让学生体会用三角尺不但能直接画出30°、45°、60°、90°的角，还能画出一些其他度数的角，体会到不仅能把两个角拼起来，还能相减，度数是15或15的倍数的角，都可以用三角尺画出来。教学中，一方面要帮助学生学会根据具体要求作出快速判断与灵活选择，一方面要鼓励学生根据自己的能力作出判断与选择。应该说，养成根据具体要求和自我基础作出正确选择的学习习惯，是主动学习的重要体现。

五、结构化实施课程评价

    1.设计趣味作业，考察学生知识内化的能力。

例：同学们都喜欢叠纸飞机，在叠纸飞机的过程中、在叠好的纸飞机中，藏有好多角的知识，请同学们下课后边折纸边找角，看一看，能从中找到多少角？它们各是什么角？最后把折好的纸飞机再打开看看，相信你一定会有不少惊喜的发现。课后就试试吧！

相比纯粹的判断角的类型，或表示角的大小关系的作业，折飞机的作业更能激发学生的学习兴趣，学生在折一折、看一看、说一说的活动中，能加深对锐角、直角、钝角、平角、周角的内涵的认识，加深直角、平角、周角的表象，加深2直角=1平角、4直角=2平角=1周角的关系的认识。

2.设计探究作业，考察学生主动研究的能力。

例：同学们，你们玩过放大镜吗？课后，请你任意画几个不同方向、不同大小的角，量出它们的度数，然后用放大镜观察一下你所画的角，研究研究，放大镜能不能把角的度数放大呢？看看你有什么发现？

    学习了“角”这一单元，经常会碰到这样的判断题：“在10倍的放大镜下，10°的角就成了100°”。虽然操练过多次，反复强调过多遍，但是一阶段后再次碰到，依然会有相当一部分学生认为是对的。究其原因，是学生没有活动体验，不知其所以然，只是机械地记忆结论而已。因此教师可以设计上面的题目，一方面巩固画角、量角的技能，一方面考察学生主动探究的能力。

 

总之，只有把数学知识自身建立、发展、整体化、系列化的过程在学生面前清晰呈现，在学生的探索和实践中把数学知识固化的形态恢复到鲜活的状态，才能循着一条有序的思维之路，使学生的认识在数量上从单一到多元，在质量上由扁平到丰满，由表及里地完成对知识结构和方法结构的体验、建构过程，形成学生独特的学习体悟、独特的探索轨迹和独特的思维结构。我们坚信：学生的学习会因结构的清晰而更主动，学生的成长会因结构的支撑而更精彩！