【摘要】

    数学，是学生认识世界、把握世界、解释世界、表达世界的重要工具，因而，数学学习应与其内在知识体系和外在的知识运用进行纵向关联、横向渗透、条块融通、类比迁移，以网状的结构式的编排体系、展开过程，帮助学生编织起结构状的思维方式，将学生的学习从被动引向主动，从单一引向丰富，从机械引向灵动。

【关键词】 结构    思维    纵向关联    横向渗透     条块融通    类比迁移

 

    数学，是培养学生思维的重要载体。而在现实教学中，学生往往是“只见题目（活动）不见思维”，教师往往是“只教数学不教思维”。对数学本身点状、空泛的理解直接带来的就是数学学科育人资源的原始贫乏。事实上，如果学校数学能够解释隐藏在数学知识背后的数学思想和数学方法，能够提供学生主动实践数学思想和数学方法的机会，就有可能让学生真正感受数学思维方式的力量，逐渐形成数学的思维方式并将其自觉运用到日常生活中。

而结构，就是将数学与其内在的知识体系或外在的知识运用进行意义关联，从而使学生更快更好理解和掌握数学思维和数学方法的有力工具。它暗含了三条主线的和谐统一，一是教材编排的知识结构，二是教学展开的逻辑结构，三是学生学习的认知结构。有效进行知识的合理架构，精心设计学生学习的过程结构，在此基础上有向编织学生的学习结构，就能将学生的思维引向深广的数学天地，从而激发学生主动、持续学习的热情。

在实践探索中，我们发现可以基于数学教材原有的单元结构，跳出知识点教学的认识框架，从知识的内在关联和思维的类比迁移这两个角度进行以下四个纬度的创造性设计，使之向着更利于学生数学思维发展的方向进发。

基于学生的年龄特点和后续学习的需要，许多数学教材大多是从知识网络中选择部分“点”作为学习的素材，这样的内容选择就使原来具有很强结构性的知识链发生了断裂，容易让教师和学生只看到孤立的知识点，而看不到有内在联系的知识整体。而对为什么要学这些知识？怎样学这些知识？学到的这些知识怎么用等问题都缺乏整体的策划。教师不会主动引导学生去了解知识形成的来龙去脉，学生思维也就陷于被动和机械记忆。

以数运算规律教学为例，“加减乘除”运算内部所蕴藏的不变规律和共变规律是一个纵向不断拉伸的整体，而从偶然现象出发，经历猜想、验证、归纳和概括，抽象出一般数学结论的过程更是一个研究意识和能力不断形成的过程，如何整体地认识和结构化地把握这些数运算的规律，帮助学生形成认知的结构化，从而建立起结构化的思维方式呢？

首先我们对教学进程进行了整体规划，将这个单元拉长：

这样一个学习的长程结构，可以使学生对数运算规律的探究从“教”走向“学”，从“课内”走向“课外”，从“有限”走向“无限”。

其次，我们对数运算规律探究课与课之间的纵向联结进行了递进设计，帮助学生搭建思维的脚手架：

在四年级上册《运算律》单元，我们将加法、乘法运算中不变规律的探索集中在一起进行呈现。又将减法、除法运算中不变规律的探索集中在一起进行教学。这样的纵向重组，将人为破坏的数运算规律的知识结构重新修复完整，一方面有助于教师整体把握知识间的紧密联系，整体设计学生的能力培养梯度。一方面也为学生提供了更多实践和反思机会，有利于学生整体和结构化地把握知识，为学生的类比猜想和结构思考提供可能，而且有利于学生形成主动探究的学习心态，在形成知识结构的同时建立起结构化的思维方式。

加法交换律和结合律是规律性知识学习的起点内容，这一教学内容是学生建立起结构意识和结构化思维方式的关键，所以通过对“加法运算律”运用探究式的教学结构“观察发现、提出猜想、举例验证、概括归纳、拓展延伸”开展教学，促使学生在这个运算定律的“教结构”的过程中，知道基本的规律性学习的结构和探究规律的一般方法和步骤，采用不完全归纳法对规律性知识进行验证，使学生形成初步探究规律性知识的能力和意识，为后续的主动研究其他的运算定律充分作准备。

紧随其后的乘法交换律、结合律以及相关的简便计算，整个教学的过程和加法类似，都是先让学生初步感受可能存在这样的运算律，然后再让学生通过举例验证，经历分析、综合、抽象的过程，得出运算律，并且用字母表示。不过探索的要求有所提高。需要学生能从学习加法交换律和结合律的方法结构中主动迁移，自主进行探索，让学生利用已有经验，探索和学会简便算法。

减法的运算性质在现行的苏教版教材中没有编排，只是在二年级用连减解决的实际问题和低年级的口算题组练习中有所渗透。部分教师意识到这一缺漏，借助练习进行了拓展教学，但对教学设计的思考相对缺乏整体和深入，缺少与已经学习过的部分数运算定律的沟通和类比，仅仅停留于理解和运用，而不注重研究意识的培养和研究方式的贯穿。我们将减法的运算规律教学安排为两个课时：一是连减性质，通过偶然问题引发学生对一般进行猜想，并通过分类比较突显规律简便使用的前提条件，这是规律探究教学至此的重点所在；二是差不变性质，通过天平实验引发学生根据观察进行猜想，从而揭示被减数与减数以加减方式变化有规律存在，这是学生理解的难点所在。

通过加法运算定律的“教学结构”阶段、乘法运算定律的“运用结构”阶段和减法除法运算定律的“自主运用结构”阶段，学生对于研究的路径、研究的范围和材料的有序罗列等研究方法有了一定的认识和积累，初步具备了研究的意识和能力，对规律的特点把握，对规律使用的前提条件，对数学语言的概括运用有了逐步深入的体验，结构化的数学思维得到了有效提升。

很多“点状”的知识背后，除了纵向的关联拉伸之外，往往还以关系的方式进行着横向的勾连，各种关系之间的转换路径和相应的思维策略的选择，就是学生思维从简单到复杂，从局部到整体，从单一到丰富的逻辑推理发展和品质提升过程。

以数量关系的教学为例，学生在一二年级通过对简单部总关系、相差关系、份总关系、倍数关系的整体感悟，对条件与问题之间的对应关系和相互转换有了初步的感悟，三四年级通过两步、三步复合数量关系的学习，对数量关系复合的来龙去脉也有了初步的体悟，明确了“知二求三”、“知三求四”这样的数量关系。在六年级建立了“比”的概念后，教材先安排学习按比例分配的问题，再设计多层次的练习丰富学生认知，提高应用能力。这样的教学过程，没有意识到其实比的运用也是一个对数量关系的整体把握能力，与前期数量关系的教学是完全割裂的，学生的认识是被动、点状的，难以形成对比的应用的系统认知结构。

基于这一思考，我们对教材进行了改编，将这个单元拉宽，与数量关系教学的过程结构进行关联式的教学，帮助学生编制思维的互联网。

1.设计开放的情境，让学生补充条件，让学生初步感知比的应用题的基本结构。

2.运用这一基本结构经历多层次、多角度的编题练习，进一步理解问题结构，清晰数

量关系，体会对应思想，从而建立关于比的实际问题的基本方法的整体认知，并沟通新旧知识间的联系。

3.进一步引入变式要求，引导学生灵活运用比的知识解决实际问题。

【感知“比的应用题”的基本结构环节】

1.开放问题，引发需求

出示信息：把一些格子按3：2涂成红黄两色

师：根据这个比你能获得哪些信息？你能知道黄色涂多少格吗？

生：要知道一些条件，否则不知道涂多少？

师：补充怎样的条件，就能求出黄色涂几格呢?把你的想法写出来。

2.已知总数，求部分量

资源呈现：一共有30格

生：补充了两种方块的总数。

师：补充了总数，就能求出黄色的格数。应该怎么求呢？除了能求出黄色，还能求出什么呢？生：还可以求出红色方格和两种颜色的相差量。

3.已知部分量，求其他量

师：刚才我们补充了总量，可以求出红色、黄色、相差量。还能补充什么条件呢？

生：还能补充红色格数、黄色格数、两种颜色的相差量。

师：你能补完整了吗？补完了就算一算，写在后面的虚线上。

4.拓展到三个量的比

师：还可以按照怎样的比来分呢？

生：把一些方格按3：2：4涂成红、黄、绿三种颜色。

生：如果补充的是总量，求的是部分量或相差量，如果补充的是部分量或相差量，可以求总量。

……

师：通过这些问题的研究，你有什么发现？

生：知道其中一个量，就可以求其他的两个量。

生：不管怎么变，解题的思路都是一样的。这相当于我们以前学过的复合份总关系的应用题。

这样的改变，一是改变了以往老师“不断变题”学生“埋头解题”的状态，把“变题”的本领教给学生，引导学生在“变题”中不断感知“比的应用”的类型变化，形成各种变换之间的路径意识和思维策略。二是通过对“比的应用”的数量关系形成过程来龙去脉的“沟通”，把新的数量关系纳入已有的认识框架，帮助学生形成对复合数量关系的整体认识，使学生在把握形成过程的基础上更好地进行有意义的问题解决。这样的整体结构化的学习和思辨的过程也对学生思维的网状关联起到了较好的促进作用。                                                                                                                                                                                                                                                                                 

结构的关联能使知识的教学和能力的发展呈现一条清晰的脉络，但这样的结构设计不是唯一，不应成为教学的桎梏，这样的结构也不应该固化，使教学陷入枯燥或模式化。在教学中，我们还可以依据单元知识之间的并联关系、递进关系进行条块融通，使教学呈现出灵活和丰富，打开学生思维的百叶窗，使学生的思维呈现出灵动和清晰。

比如，在《分数加减法》单元的教学中，我们发现整数、小数、分数加减法作为数运算的三个分支，尽管参与运算的数的类型不同，但在算理上是有相通之处——只有相同计数单位，才能直接相加减，这是运算教学中的一条算理主线，应以一以贯之的点拨渗透，使之清晰化。其次分数加减法中因为分母的关系不同包含着不同的类型，每一种类型从计算的策略上又有所不同，因此，根据加数或减数的不同类型选择合适、简便的方法来计算，它们研究的方法结构和过程结构是一致的，同时也具有递进之处，分数减法的研究可以在分数加法的基础上有灵活结构和创造生成，这是本单元的一条逻辑展开主线。

基于以上分析，我们对这两节课进行了两种设计和尝试：

这样的两种设计，都较好地达成了教学目标，分数加法作为教结构，把对类型结构的整体把握和对异分母分数加法算法探究的过程“写实”，形成清晰认识，到了分数减法，学生就会自觉迁移类比学习。因此，本单元的灵活结构体现在对类型的整体进入和对方法的验证运用，相关练习融合其中，及时巩固。本单元的递进提升体现在对分数加法和减法的综合练习，以及由此引发的特殊规律的深入探究，由表及里，层层深入，重在对学习成果的内化和思维品质的培养，学生类比研究的意识和能力得到了充分张扬，对自己学什么、怎么学、学到什么度都有了一定的思考和评判。

教材是本，是教学的依据和重要资源，但在实际教学中，往往还需要教师根据学生思维发展的需要，对教材的知识结构进行拓展和完善，以达到触类旁通，学以致用的效果。而知识的内蕴结构，学习过程的结构迁移，就成为学生瞭望数学广阔天空的重要工具，一种类比探索的自觉和开放延伸的思维也将在过程中逐步养成。

比如在四年级下册第三单元《三角形的认识》，从“边”和“角”两个要素入手对三角形进行分类和命名。第五单元安排了《平行四边形和梯形的认识》，直接就从边的数量关系和位置关系对它们的特征进行了研究，对角没有涉及，对是否可能从“边”或“角”的要素出发发现其特殊性避而不谈。

事实上，三角形、四边形各种边和角的组合，可以形成多种类型，学生就会有多种角度的分类标准，如何有序地对三角形和四边形的各种边和角的情况加以考虑和分析，呈现分类过程中思维状态的条理性，是这一内容教学独特的育人价值。

因此，我们对教材内容进行了重新架构，增加了《三角形、四边形按角分类》一课。我们把三角形的按角分类作为一次经验激活和深化的过程，带领学生在辨析比较、分类命名、关系表达的过程中逐步清晰学习方法结构，而四边形按角分类，虽然不能得出什么特殊类型或产生新的命名，但对这一学习方法结构的再次感悟和运用，锤炼了学生的有序思维，巩固学习方法，促进研究思想方法的类比迁移和能力提升，以“滴水穿石”的方式养成可持续发展乃至终身发展的基础素养和思维方式。

 

不论是纵向拉伸式的结构教学还是横向关联式的结构教学教学，其目的都是使学生将前后所学的知识、方法有机勾连，不断拓展和完善自己的认知结构，形成思想方法的融通和提升。而教师在对基本结构进行把握的基础上，进行的合理、灵活的创造和有向、有机的拓展，更是基于学生又引领学生思维向着更深广处迈进的阶梯！