本文获中国教育学会年会论文评比二等奖

“线——面——体”教学的育人价值和结构化设计

 

常州市第二实验小学    马美南 

【内容摘要】

长度、面积、体积，简称“线——面——体”的学习，是几何初步知识学习的起步，是建立几何概念、探索几何规律、进行几何运算的基础，也是学生空间观念和抽象思维的进一步形成和发展过程，但是在实际的教学中，存在着一些问题：一是教学中忽视了学生对概念学习的内在需求，二是教学中缺乏目标的阶段性与层次性。针对以上问题，笔者认为需要重新认识“线——面——体”知识对于学生成长发展的教育价值，重新构建教学策略，实现理念与实践的融通。

【关键词】育人价值   结构化设计

长度、面积、体积，简称“线——面——体”的学习，是几何初步知识学习的起步，是建立几何概念、探索几何规律、进行几何运算的基础，也是学生空间观念和抽象思维的进一步形成和发展过程，对学生今后的几何学习将起到至关重要的作用。

与旧教材相比，新教材突出了学生的实际体验。以苏教版教材为例，无论是二年级上册的“认识线段”，三年级下册的“面积的含义”，还是六年级上册的“体积的含义”，新教材在编排时都十分注重让学生在操作实验中体验领悟知识，从而帮助学生建立概念。比如：在教学认识线段时，让学生用手捏一根线的两端，然后拉直，使学生在这样的活动中获得对线段的直观认识。在教学面积时，通过比较黑板表面与课本封面的大小引出面积的概念，通过运用课本、文具盒分别测量课桌面的大小引出学习统一的面积计量单位的需要。在教学体积时，通过层层递进的实验，让学生在现实的背景下逐步感知“空间”“物体占有空间”“所占空间的大小”，并由此得出体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。 新教材在编排时进行这样的改变，不仅能使学生体会到“线——面——体”这些数学概念与生活的密切联系，而且有利于学生把握“线——面——体”概念产生和发展的来龙去脉，从而使学生更为自觉地运用已有的生活经验和知识积累参与获得概念的过程。

但在我们实际的教学中，教师比较关注概念的习得和记忆，忽视了学生对“线——面——体”概念学习的内在需求，忽视了学生对概念本质的感悟体验和内涵理解。学习仅仅定位在为相应的计算做准备，抽象地告诉学生，简单地记忆运用。课堂上老师用精致的画面和复杂的操作活动来冲击学生的感官，替代学生的探索感悟。学生被动地接受，不知道为什么会出现这些概念，为什么要学习这些概念，为什么要开展这样的操作活动；不知道前人是如何发明这些单位的；也不知道这些知识之间的内在联系和发展过程，数学自身美感的体验过程被抽空了。学生在解决实际问题的过程中，也往往会因为概念理解上的偏差或一知半解，而无法整体把握或自如应对。

另外在许多学校中，进行大循环教学的教师较少，绝大部分的教师被固定在某一个年段，对本年段的知识点比较清晰，但是对于整个教材或某一知识体系的学习内容、结构体系缺乏了解，“只见树木不见森林”。就像长度、面积、体积这一系列几何概念，被分割成三个学段三个点状的知识点。使得教师缺乏对“线——面——体”知识结构的认识、分析和利用，缺乏根据知识结构特点对学生学习需求的不断激发，缺乏对学生主动学习的策略意识培养。在设计教学目标时就会局限在本年级的某个知识点上，一方面抛开了学生已有的基础，同时课时目标的设计仅关注近期目标，而忽视发展目标，缺乏目标的阶段性与层次性，导致对这一系列知识理解的割裂化和目标定位的窄化。

针对以上问题，我们觉得教师只有重新认识“线——面——体”对于学生成长发展的教育价值，才能重新构建教学策略，实现理念与实践的融通。

一、全面地认识“线——面——体”教学的育人价值

1.“ 线——面——体”之间具有内隐着的类知识结构

几何概念的建立，看似只有一两句话的理解和掌握，但只有建立在唤起学生学习经验、激发学生学习需求，进行自主、有意义的建构的基础上，学生的学习才是真实有效的。事实上，线段、面积、体积三个知识在结构上具有十分密切的内在关联性，都包含几个基本内容，从概念的建立到比较方法的运用、测量工具的选择、度量单位的产生等方面都具有共性。如下表：

	线段（长度）	平面图形（面积）	立体图形（体积）
核心概念	无数个点累积成线段                （以长短而论）	无数条线段累积成面 （以大小而论）	无数个面累积成体 （以大小或多少而论）
比较方法	观察法	观察法	观察法
	重叠法（重叠一条边）	重叠法（重叠两个方向的边）	重叠法（重叠三个方向的边）
测量工具	厘米尺	1平方厘米的正方形	1立方厘米的正方体
常用单位	厘米、分米、米	平方厘米、平方分米、平方米	立方厘米、立方分米、立方米

如果能根据学生对“线——面——体”知识学习的自然顺序，把这些关联性的知识逐步地、有层次地、以结构状的方式渗透于学习过程并适时呈现在学生面前，使知识的点状学习具有更强的组织和迁移价值，容易培养学生举一反三、推此及彼的意识和能力，并以结构化的方式不断地对头脑中的知识结构进行梳理和完善，在具体情境中主动检索相关内容，灵活运用。

2. “线——面——体”之间一以贯之的方法结构

对“线——面——体”知识结构化的特点认识，也为学习方法的连贯性和递进性埋下了伏笔。以概念的整体感悟为例，根据学生的认识特点和心理发展水平，概念的形成建立在大量感性材料的感悟基础上，教师要从学生熟识的生活背景中抽取其中蕴含的数学元素，并用渗透性的语言带领学生一次又一次地进行数学语言的描述，并最终将具体的数学原型提炼为具有抽象和普遍意义的数学模型，完成对数学知识个性化的占有。这一过程对概念教学而言是稳定有效，但又不是一成不变的，教师可以从扶到放，以知识的结构化呈现方式帮助学生迁移、类比，逐步自觉地完成概念的自主建构。

教学中可以采取“教结构”和“用结构”的“长程两段式”教学策略。在教学“线段”一课时，教师可通过有机化的语言让学生感受丰富的活动背后的目的，渗透思想方法，知道线段是以长短而论，比较线段的长短时可以用观察法，当观察法不能直接比较时可以用重叠法（重叠一条边），也可以借助中介物的边来比较。而需要清楚地知道线段有多长，线段之间的长度相差多少时，就必须统一单位，由此感受学习“长度单位”的需求。在学习“面积”一课时，就可以引导学生类比研究长度单位的方法结构（材料感知——聚类分析——归纳提炼）和数学思想方法（观察重叠，直接比较——借助工具，间接比较——统一单位，测量比较），展开认识面积单位的探索，了解线、面之间从一维到两维的内在联系。后续的体积单位的学习则可进一步类比研究长度单位、面积单位的方法结构，建立“线——面——体”的整体认识和敏感。

3.“线——面——体”学习中数学美的过程体验

线段以长短而论，可以用重叠一条边、借助中介物的边来比较；面积以大小而论，可以用重叠两条边、借助中介物的面来比较；体积以占空间的大小或多少而论，可以用重叠三条边、借助中介物的体来比较。常用的长度单位是厘米、分米、米；常用的面积单位是厘米²、分米²、米²；常用的体积单位是厘米³、分米³、米³。从上述分析中我们可以清晰地感受到这一系列数学知识中蕴涵的独特简洁美、对应美。作为教师，在教学中要不断地把看似简单的知识点和学生生活中的“维”空间沟通，创设操作活动情境，使学生感受三者之间的区别和联系。如：“面积“一课的教学中可以提供给学生几个长正方形，让学生类比线段长短比较的方法，经历平面图形的大小比较的过程。学生在操作过程中体验发现，比较图形面的大小也可以通过观察或重叠的方法直接比较，但是有的图形无法直接比较，必须借助中介物来间接比较，而借助中介物比较时，采用比较线段长短（借助中介物的边）的方法显然行不通，必须借助中介物的面来比较。而学生借助的中介物的面有大有小，怎样能清晰地表达被测量面的大小，这就产生了面积单位统一的需求。而面积单位还能用厘米、分米、米来表示吗？这一矛盾又激发了产生新单位需求。就在这样不断的矛盾冲突中，让学生逐步建立起从“一维”到“两维”到“三维”，从线到面到体的认识物体的基本路径，并在学习过程中体验蕴涵在知识背后的独特的数学美。

   我们一起欣赏《面积》教学的一个片段：

师：刚才我们发现物体的面都有大小，这儿有一些我们学过的平面图形，像……（生七嘴八舌：三角形，正方形，圆形、多边形……），我们今天先研究这些规则图形的面积，怎样来比较它们的大小呢？先回忆一下，我们以前学了线段，两根线段怎样来比较它们的长短的？

生1：用尺量的。

生2：对齐。

师：对齐就是重叠。

师：那今天要比面积的大小，是不是也可以用比线段长短的方法呢？试试看，拿出你的一号图和二号图形，用几号图形的面积比几号图形的面积大这样的话来说说看。

（学生独立探究，说说自己的发现。）

生1：我用眼睛观察，一下子就知道一号图形的面积比二号图形的面积大。

生2：我是两张图形放在一起，角对角，边对边，然后一号图形比二号图形长出来，不，大出来一段。

所以一号图形的面积比二号图形的面积大。

师：用观察法或重叠法也可以比出面积的大小。（一学生插嘴：那这两个怎么办？重叠在一起，这里大出来一点，这里又长出来一点，怎么办？）噢，他已经研究到三号、四号图形了，我们也拿出来试试看。

（学生拿到图形，议论纷纷，“不能比”，“能比的”，经过几分钟的尝试，教室里开始争论，“三号大”，“四号大”，学生们互不相让，相互之间不能说服。）

师：有的同学说三号图形的面积大，有的同学说四号图形的面积大，请你介绍一下你的方法。你怎么比出来的？

生1：我量的。

师：你量的什么？

生1：我量出三号图形这条边和这条边，再加起来是12厘米，再量了四号图形是13厘米，所以我认为是四号图形的面积大。

生2：他量的是周长。

师：对呀，量出来的是周长，可是现在我们要比面积，量这两条边的长度能解决问题吗？

生：（异口同声）不能。

师：看来，长度单位解决不了今天面积大小比较的问题了，我们需要一个测量面积的工具。

生3：我用剪刀，我把这边多余的剪下来补到另一边，再比一比，发现四号图形的面积大。

师：她真会动脑子，会用剪、拼的方法来比较。

生4：我用骰子比。发现三号图形是三个骰子多一点，四号图形是四个骰子多一点。所以四号图形的面积大。

师：那到底是三号图形的面积大还是四号图形的面积大呢？我们也用骰子来比比看。（学生又一次尝试使用工具测量，教师点评。）

生5：我是用数字卡片比的，比出来四号图形是三个多一点。

师：同样是四号图形，刚才用骰子比是四个多一点，现在用数字卡片比只有三个多一点，这是为什么呀？

生5：用的骰子和数字卡片大小不一样。

师：对，这位同学的骰子更小了，比出来还要多，对吗？

生1：要用同样的工具。

生2：老师，那我们现在怎么办呢？

生3：用同样大小的方格纸来比。

师：同学们真了不起，我们的古人也是这么想的。为了准确地知道物体的面积到底是多少，我们需要一个统一的测量工具。

（师生一起剪下一个小方格，量一量，算一算……）

师：这个小方格的边长是1厘米，周长是4厘米，这样的小正方形的面积谁给起它一个名称？

生：叫做1平方厘米。

……

只有把数学知识自身建立、发展、整体化、系列化的过程在学生面前清晰呈现，在学生的探索和实践中把数学知识固化的形态恢复到鲜活的状态，才能循着一条有序的思维之路，逐步拓展学生的空间观念，使学生的认识在数量上从单一到多元，在质量上由扁平到丰满，由表及里地完成对知识结构和方法结构的体验、建构过程，形成学生独特的学习体悟、独特的探索轨迹和独特的思维结构。

二、结构化设计“线——面——体”的教学过程

通过对“线——面——体”知识结构、方法结构以及育人价值的分析，我们不难发现，现实教学中，教师往往没有这样的整体结构意识，他们的教学实践也简单地落实在点状知识的理解和掌握上。因此，我们在提升认识的基础上，还需要借助有效的教学策略，将我们对知识结构、方法结构的理解转化为可操作的、对学生发展有价值的教学策略。

虽然，“线——面——体”三个知识点分布在低、中、高三个不同的年段，相邻两个知识点的学习时间相隔甚远，但是我们认为必须处理好知识的“整体”与课时的“局部”之间的关系，居高临下，对“线——面——体”的教学进行结构化设计。

1．线段教学“教结构”

 “线段”一课的教学至关重要，属于教学结构阶段。在这一课的学习中重要的是要让学生感受方法结构，初步掌握几何概念学习的步骤。首先在大量背景材料感知的基础上，体会线段的长短，通过聚类分析，建立长度概念，初步理解线段的含义，感受 “材料感知——聚类分析——归纳提炼”这样的学习流程。其次通过设计富有挑战性的活动，让学生经历线段的长短比较，让学生在丰富的矛盾冲突中体验“观察重叠，直接比较——借助工具，间接比较——统一单位，测量比较”的数学思想方法。我们期望学生在“线段”学习过程中，能通过老师教学过程中有机的语言过渡、点拨指导、铺垫渗透，掌握“线——面——体”知识学习的方法结构，体验数学思想方法，为后续学习“面积”“体积”奠定学习基础。

2．“面积”“体积”教学用结构

“面积”“体积”的教学则属于运用结构阶段。而“面积”教学承担着承上启下的重任，因此起着举足轻重的作用。在上课时，可以通过类似对知识结构的回顾启发学生思考，如先通过“线段有长短之分，那物体的面呢？”这一问题把学生的视角从一维引向两维，帮助学生一下子就准确地区分长度和面积概念的区别。接着通过“摸一摸，说一说”的活动，再次经历“材料感知——聚类分析——归纳提炼”这样的学习流程，充分感知面积的含义，对面积概念形成丰富的认识。再通过“我们已经学会用观察或重叠的方法，借助物体的一条边来比较线段的长短，那怎样比较平面图形面积的大小呢？”这一问题，引发学生的认知冲突，激发学生的探索需求，指引学生的思维方向。启发学生借助比较线段长短的方法，通过类比迁移，经历平面图形的大小比较，再次体验“观察重叠，直接比较——借助工具，间接比较——统一单位，测量比较”的数学思想方法。同时发现比较面积大小与比较线段长短方法上的差异，完善对线、面知识结构的认识。最后在课尾通过“如果是这样的长方体、正方体，我们该比较他们的什么？又应该怎样比较呢？”这一拓展延伸性问题，把学生研究的视角从两维引向三维。

总之，教师要借助丰富的材料让学生感悟概念的形成和抽象过程，用有层次的“放”让学生感悟方法的探究和掌握过程，通过矛盾情境的创设让学生感悟统一计量单位的必要和演化过程，以感悟促思维的结构化，以感悟促方法的多样化，以感悟促数学素养的提升。

为了更好地说明“线——面——体”教学的结构化设计，我们以起承前启后的“面积”概念教学为例，呈现理念在实践层面上的有效落实。

“面积”教学设计

一、教学目标制定的依据 1.教材分析 《长方形和正方形的面积》这部分内容是在学生初步认识长方形和正方形的特征以及初步掌握周长计算方法的基础上进行教学的，本课是第一教时认识《面积的含义》。主要分两个层次：一是通过观察生活中具体的物体感受物体表面的大小（即物体表面的面积）；二是通过比较感受平面图形的大小（即平面图形的面积）。教材除了出现长方形和正方形这样的规则图形，还提供了许多与生活联系密切或富有趣味性的图形，通过观察、比较等活动，使学生对于面积有一个整体的感知。但是为什么要出现面积单位？学生对面积单位产生的需求怎样？如何让学生经历感受前人发明面积单位的过程？教材在这三个问题上体现的是不到位的。因此，本节课力图进一步开发面积教学的育人价值，通过“材料感知——聚类分析——归纳提炼”这样的教学结构让学生形成面积概念，通过设计富有挑战性的活动，让学生经历平面图形的大小比较，体验“观察重叠，直接比较——借助工具，间接比较——统一单位，测量比较”的数学思想方法。 2.学生分析 对于学生来说，这部分内容从线到面，从长度到面积，从一维到两维，是学习几何知识的一次突破和飞跃，也是今后进一步认识学习立体图形、体积单位的基础。面积概念具有比较强的抽象性，虽然学生已经初步认识了长方形和正方形的特征，对于物体表面大小的认识，在生活中也已经有了较为丰富的经验和体会，但是在实际理解面积概念时仍旧会受长度单位负迁移的作用，而且在表述概念的过程中，面与体常常不分。鉴于这样的思考，本节课从学生的认知规律和已有经验入手，对教材进行了一定的调整：引导学生类比研究长度单位的方法结构和数学思想方法，展开认识面积单位的探索，了解线、面之间的联系，建立整体认识和敏感，也为后续进一步类比研究体积单位奠定学习基础。 二、教学目标 1. 在大量背景材料感知的基础上，体会规则和不规则图形面的大小，通过聚类分析，建立面积概念，初步理解面积的含义。 2. 借助比较线段长短的方法，通过类比迁移，经历面积大小比较的过程，体验因平面图形大小比较的需要建立起相应面积单位的思维方式，体会面积单位统一的必要性。 3. 在剪、摸、比等动手实践活动中感知1平方厘米的实际大小，会用平方厘米表示面积的大小。 4. 在说面的大小、寻找测量面积大小的工具等学习活动中形成概括和抽象能力，提升准确、简练和严密的数学语言表述水平。
教学过程设计
教学环节	教师活动	学生活动	设计意图
常规活动	根据学生间的交流板书。	回忆线段的概念及比较线段长短的方法。	课前热身，凸显方法，为一维到两维的类比迁移作准备。
一、感知面积 的含义 （10’）	过渡：线段有长短之分，物体的面呢？ 1. 材料感知： 示范指导学生摸各种物体的表面，感知物体表面的大小。 2. 聚类分析： 上面讲的都有一个共同的地方，都是讲物体面的大小。 3. 归纳提炼： 物体面的大小叫做面积。	物体的面有大小之分。   摸一摸说一说：这是（     ）的大小。同桌活动后交流。         说一说：（  ）面的大小就是（  ）面的面积。	引导学生类比研究长度单位的方法结构：材料感知——聚类分析——归纳提炼。通过大量感性材料，帮助学生认知结构的形成，让学生充分感知面积的含义，对概念形成丰富的认识。 学会用规范的数学语言进行叙述。
二、感知面积的大小 （20’）	1. 提出问题： 我们已经学会用观察或重叠的方法，借助物体的一条边来比较线段的长短，怎样比较平面图形面积的大小呢？ 2. 类比迁移： （1）指导学生直接比较1号图形和2号图形面积的大小。 （2）指导学生间接比较3号图形和4号图形面积的大小。 3. 引发冲突： 为什么同一个图形，大家测量的结果都不一样呢？ 4. 概括结论：标准要相同	学生可能会用观察法、重叠法比较。   无法使用观察法、重叠法，学生可能会用尺量周长，也有的学生会借助其他工具（骰子、数字卡片等）测量面积。	借助比较线段长短的方法，通过类比迁移，经历平面图形大小比较的过程，体验“观察重叠，直接比较——借助工具，间接比较——统一单位，测量比较”的数学思想方法。体会面积单位统一的必要性。
三、初步认识面积单位 （8’）	1. 介绍面积单位：平方厘米         2. 指导学生用1平方厘米的方格纸测量物体面的面积。	剪一个1平方厘米的小正方形。量一量边长，摸一摸面积。 比比、找找周围哪些物体面的面积接近1平方厘米。 学生用方格纸测量4个图形的面积。 测量周围感兴趣的物体面的面积。	在剪、摸、比等动手实践活动中感知1平方厘米的实际大小，建立1平方厘米的量感。会用平方厘 米表示面积的大小。
四、开放延伸 （2’）	1．测量比较大的面积，用“平方厘米”作单位还合适吗？ 2．（出示长方体、正方体各一个）如果是长方体、正方体，我们该比较他们的什么？又应该怎样比较呢？	自由交流，发表意见。	课内学习向课外延伸，把学生研究的视角从两维引向三维。