案例：

1． 小黑板出示：

25×73×4 32×102 85×2＋8×85

师：你能很快说出结果吗？（追问）你是怎样算的？运用了哪些运算率？

生：（略）

2． 提出问题：整数乘法中的运算率，对小数乘法是否适用呢？

出示例题：

0.8×1.3○1.3×0.8

（0.9×0.4）×0.5○0.9×（0.4×0.5）

（3.2＋2.8）×0.6○3.2×0.6＋2.8×0.6

师：仔细观察后猜想一下，“○”里能填“=”吗？

（学生观察、思考）

生：我认为0.8×1.3和1.3×0.8中间能填“=”。

师：有不同意见吗？

生：（全体）没有。

生1：我认为第2和第3题中间也能填“=”。

生2：我认为不能。

师：（根据第一个学生的回答板书“=”，根据第2个学生的回答在“=”上打“？”）

（其他学生轻声议论，显然形成了两种不同的意见。）

师：既然是猜想，就允许出现不同的观点，有什么好方法来验证？

生：计算！

师：那好，请大家仔细计算一下，让事实来说话。第一题虽然没有异议，但抱着科学的研究态度，我们也通过计算验证一下。做完后仔细观察：每组两个算式有什么关系？你发现了什么规律？将你的发现与同桌交流。

（学生实践操作）

生1：第1题两边的结果都是1.04，这里是把两个因数调换了位置，积不变。

生2：我补充，这道题运用了乘法交换率。

生3：第2题两边的结果都是0.18，应该填“=”。我发现这里实际是运用了乘法结合率，两个因数不变，只是改变了运算顺序。

生4：第3题前面是先求了3.2＋2.8的和，再去乘0.6，后面是将3.2和2.8分别去乘0.6，再把所得的结果相加，两边算出来都是3.6。这是运用了乘法分配率。

师：这三道题确实符合乘法交换率、乘法结合率和乘法分配率，（擦去“？”）但仅通过这三题的研究是否就能说，乘法的这些运算率在小数乘法中普遍适用呢？

生：（犹豫）不能。

师：确实不能！要得到一个科学的结论，必须经过大量的事实举证，看这个规律是否普遍存在。当然，也可以通过找反例来验证或推翻这个结论。

下面就请同学们再例举几组有这样关系的算式，通过计算来验证。

提醒：举例时要尽可能考虑到类的多样，还应考虑一些特殊的数。

学生自主举例后展示并汇报：

（1）4.5×8.4=8.4×4.5

（2）0.12×3×0.7=0.12×（3×0.7）

（3）0.35×5＋0.35×10=（5＋10）×0.35

（4）（2＋0.018）×4=2×4＋0.018×4

……

（以上交流略）

生1：我举的例子有些特殊，我不知道是否是运用了乘法分配率，0.1×0.1=0.1×0.1。

师：这个算式确实有些特殊，是两个相同的数相乘。大家说可以用乘法交换率来解释吗？

生2：可以，虽然调换位置还是与原来一样，但我们也可以看作前后调换位置了，只不过调换后还是一样的。

生3：我找到一个反例，5.6×7.65＞7.65×5.6。

（部分学生叫：不可能！）

师：如果这个反例成立的话，前面的猜想就要推翻了。一起验证一下，这个反例成立吗？

（学生计算）

生4：我算出来两边的结果都是42.84，明明是相等的，怎么会是“＞”呢？

生3：（不好意思）我又算了一遍，原来是我算错了。

师：还有不同的意见吗？

生5：我也找到一个反例，5.82×0=0×4.89。

师：这个反例成立吗？

生6：0乘任何数都得0，5.82和4.89改成任何一个数，这个算式都成立，但它们不是运用了乘法交换率。

生7：这个例子有问题，乘法交换率只是将两个数交换位置，数字本身不应该变。

师：那你认为这个例子该怎样改？

生7：5.82×0=0×5.82，还是成立的。

师：确实，0作为一个特殊的数，与任何数相乘都得0。但5.28×0和0×4.89之间不存在如例题（1）两个算式之间的那种关系，这堂课我们暂且不研究这些内容。

师：还能找到反例吗？

生：没有了。

师：刚才，同学们例举了一位小数乘一位小数、一位小数乘两位小数、两位小数、整数和一位小数连乘以及相同的小数相乘、三位小数、有关0的乘法等等一系列例子，就目前我们的学习来说，应该是比较齐全了，所有这些例子，都验证了乘法运算率在小数乘法中的存在，并且，我们也举不出反例来推翻它们，因此，现在我们就可以明确地下结论：整数乘法的运算率，对小数乘法也同样适用。

当然，由于我们能力有限，因此不可能将所有小数乘法的例子都举出来，有兴趣的同学课后可以利用计算器进一步将小数拓展到四位、五位甚至更多。

评析：

在以往的教学中，对于一些规律性知识的教学，我们往往采用的是让学生理解、记忆定律、运用定律进行简便运算这种简单演绎的方式进行。不可否认，这种教学方式下的学生应用意识强，模仿能力强，但如果仔细剖析，就不难发现，这种学生更多的是关注教科书上呈现的现成知识、现成结论，他们更多的体现出的是一种简单接受、模仿、配合等被动的思维方式。“新基础教育”强调数学对于发展学生主动思维的价值，相信学校数学教学能够提供学生主动探索、体验、实践的时间和空间，并且在这个过程中能够给学生以力量和智慧，激发学生主动探索的欲望，提供学生发现的方法和思维的策略。

数学的思维方式虽然表现出高度抽象的特征，但并不是无实践和实体之根的抽象，也不是无规律可循、不可捉摸的东西，它渗透于各种具体的数学活动中。

“整数乘法运算率的推广”这一内容的教学采用的是归纳探究的教学策略，即以归纳的方式引导学生在解决问题的过程中探究和发现蕴涵其中的数学规律。不难发现，新授部分教学流程：提出问题→观察（类比）→发现和猜想→举例验证→得出结论（数学化）

第一环节：提出问题。从“你能很快说出结果吗？”引出整数乘法的运算率，通过对整数乘法各运算率的回顾很自然的提出问题：整数乘法中的运算率，对小数乘法是否适用呢？激发学生研究的欲望。

第二环节：发现和猜想。这是探究获得结论的前提。在这里，因为有了整数运算率的铺垫，学生通过观察和类比，大部分学生都能进行合理猜想，但思维水平的差异性导致了小部分不同观点的存在。在这里，教师敏锐地捕捉住了这一差异资源，将学生的思维及时引入了验证环节。

第三环节：举例验证。受知识水平的影响，这里采用的是不完全归纳的方式，通过举例来验证猜想。由对例题的计算验证出发，到学生自主举例。在教师的提醒下，最后呈现出来的例子应该说基本考虑到了类的多样和一些特殊的算式（如两个相同的小数相乘、0的问题），并且也试图找到一些反例。这一环节的处理，不仅激发了学生主动探究数学问题的欲望，增强学生学习数学的内驱力，而且使学生形成主动学习的心态，逐渐建立起独特的思维方式。

第四环节：得出结论。这一环节，师生就目前的研究水平得出了一个明确的结论：整数乘法的运算率，对小数乘法也同样适用。但并没有就此打住，而是进一步引导学生在课后进行拓展研究，使课堂教学不断向纵深推进。

综观以上教学过程，教师在关注知识教学的同时，更加关注的是学生数学思维方式的培养，着力于让学生了解探究规律可以从提出问题出发，经历发现猜想、验证猜想到形成结论的一般过程，从而让学生形成学习这类知识的方法结构。

思考：

如果将这种结构意识前移，在整数加法、乘法运算率的探究中就逐步渗透这种方法结构，让学生掌握规律探究的一般研究方法，那么本课的教学完全可以采用更加开放的形式，摈弃例题的扶持，在提出问题之后由学生完全自主地按照步骤独立开展研究活动。那样，是否更能体现数学的育人价值呢？