“三放三收”教学设计的案例

——以“等底等高的三角形面积相等”为例

上海市闵行区教育教学研究所 王芳

上海市闵行区实验小学 程蔚

“新基础教育”数学课堂教学改革实践重建的第二步是把“新基础教育”的课堂教学过程观[1]转化为数学教师的课堂教学实践行为。这个转化首先要把课堂教学改革中一般的、共通的过程观转换为数学课堂教学过程展开的一般逻辑和流程[2]；其次在认识到数学课堂教学过程展开逻辑独特性的基础上，结合教师对教学内容的解读、重组和育人价值的分析以及对学生的前在状态、潜在状态和发展需要的分析，进行综合的基础上将其转换为数学课堂教学中不同类课型的具体的教学过程设计。本文主要围绕第二个转换，以“等底等高的三角形面积相等”为例，阐述数学课堂教学过程中“三放三收”的具体设计。

一、 传统的“等底等高的三角形面积相等”教学中的问题存在

上海市小学数学教材第九册在“三角形面积计算”教学之后，安排了“等底等高的三角形面积相等”这一教学内容，它是“三角形面积计算”教学的拓展与延伸，即在三角形“等底等高”情况下衍生出来的结论：等底等高的三角形面积相等。因此，“等底等高的三角形”对于学生来说是首先要学习的一个概念。

众所周知，概念通常是对一类事物本质的描述，经过前人的概括和提炼以后，往往用非常简练和抽象的术语加以表述。如果教师采用这种教学方式，学生不仅不容易参与到概念的形成过程之中，而且也很难理解如此抽象的概念本身，就更不用说认识概念的丰富内涵了。尽管在教学中教师也努力引导学生辨析概念，还有许多关于概念的变式练习，目的是让学生获得对“等底等高的三角形”概念的多角度理解。这些变式练习通常可以概括为以下两类：一类属于“等底等高”的概念变式[4]；一类属于“等底等高”的非概念变式[5]。但是，学生如果缺乏对这一类事物为什么叫这个名称的抽象过程的感受，就很容易在面对多种变式形态的辨析中表现出被动的状态，因而也就会导致学生经常发生辨析错误的情况。因此，这种教学方式存在的问题主要有三：一是教师对“等底等高的三角形”概念的形成过程关注不够，导致学生对概念的形成过程缺乏参与和体验；二是教师呈现的“等底等高的三角形”的形态单一（见图1）， 导致学生对“等底等高的三角形”概念的内涵缺乏丰富的认识；三是教师直接告诉学生概念的语言文字如何表述，导致学生对“等底等高的三角形”的语言文字表述缺乏抽象和实践的机会。概括起来说，教师比较多的关注如何让学生在记忆概念的基础上进行概念的辨析和运用，忽视了学生的概念学习过程是一个建构和生成的过程，其最重要的缺失是对数学教学内容的育人价值开发不够。

二、 “等底等高的三角形面积相等”教学育人价值的重新确认

概念是思维的基本形式之一，反映事物的一般的、本质的特征。把感觉到的事物的共同特点抽出来，加以概括，就成为概念[6]。心理学研究认为：概念是思维的核心，推理与问题解决常常是对概念和规则的运用，概念的抽象水平往往代表了思维发展的水平。我们认为“等底等高的三角形面积相等”的教学，很重要的是要让学生参与和体验“等底等高的三角形”概念的建构过程，让学生在大量的、丰富的背景材料中，通过比较和分类、概括和抽象出这一概念。只有藉助于这样的概念教学过程，才有可能丰富学生对概念内涵的认识，获得概念蕴含的潜在结论，并运用结论去解决问题；才有可能培养学生比较、分类、概括、抽象的能力，同时，还有可能提升学生语言表述的准确性、简练性和严密性，这也是概念教学最重要的育人价值之所在。

为此，我们主张“等底等高的三角形面积相等”的教学过程是：首先，要尽可能提供学生大量的、丰富的背景材料，如这些材料可以包括“同底等高”、“等底同高”、“等底等高”等各种情况；其次，让学生在大量的背景材料中进行比较和分类，努力引导学生发现这些材料中的不同和相同，使学生对“等底等高”所包含的丰富内涵有比较清晰的了解和认识；最后，引导学生对各种情况的材料进行概括和提炼，尽可能用简练的语言加以表述，逐步抽象出“等底等高的三角形”的概念。这一抽象的过程既可以体现学生对于概念的建构和形成过程，同时还可以提升学生思维的准确性和严密性。所以在概念教学的过程中，教师要注意引导学生思考以下问题：你是按什么特点进行分类的？把这些图形分在同一类时，它们之间究竟有什么共同的特点？不但让学生建立主动寻找某一类事物共同特征的敏感意识，而且还要让学生养成用准确、简练、严密的语言概括、归纳出分在同一类事物所具有的共同特性的能力。当学生尝试用自己的语言表达时，他们的表述一定会有差异，教师应注意引导学生比较一些关键词的重要性，有这个词和没这个词的差异在哪里，通过学生之间的交流和碰撞，他们才有可能体会到概念表述要求的准确性、简练性和严密性。

三、 “等底等高的三角形面积相等”教学的“三放三收”设计

在上述认识的基础上，同时综合对“等底等高的三角形面积相等”内容的分析，对学生的前在状态、潜在状态和发展需要的分析，我们对“等底等高的三角形面积相等”的教学进行了如下的“三放三收”设计[7]：

第一部分基本研究的教学设计：

教学的第一环节：大量感性材料的产生，了解概念背景

在这个环节要引导学生讨论以下两个问题：第一个问题是，在平行线l₁和l₂上任取A、B、C三点，可以组成一个三角形。如果拖动C点，就出现两个三角形（见图1），你发现这两个三角形的形状、大小发生了什么变化？第二个问题是，刚才我们讨论的两个三角形是同一条底的情况，如果不是同一条底可以吗？你是否也能在两条平行线上画出两个三角形使得它们的面积相等？想一想，你能画出几种情况？进一步还可以思考，如果C点不在l₂上，情况又会发生怎样的变化？请注意每一种情况条件和结论的表示。

问题1的讨论要注意使学生感悟移动C点后形成的两个三角形，形状发生变化，面积大小没有发生变化。同时还要强调两点：一是强调形成结论的条件，二是强调条件和结论的表述。因为两个三角形由同一条底构成，所以第一个条件可以表示为：AB=AB；又因为不论C点如何变化，所构成的两个三角形形成相等的高（见图2），所以第二个条件可以表示为：h₁=h₂；所得到的结论可以表示为S₁=S₂。

由于这个问题比较简单，所以没有“放下去”的必要。之所以要讨论这一问题，一是要引导学生回忆三角形面积公式，二是要让学生知道如何用数学语言表现自己的发现。在这里还要说明的是，不是所有的问题都要“放下去”。一般来说，学生熟悉的问题或“约定俗成”的问题不需要“放下去”。

第一次“放”：学生独立在两条平行线上画两个三角形面积相等的可能情形，生成出各种“基础性资源”。

问题2的思考对于学生来说具有相当大的挑战性，一是因为学生容易受到问题1的影响形成“思维定势”，二是因为学生容易“点状”思考，很难有条理的画出所有情况。这既是学生的问题和困难所在，也是我们要“放下去”的理由所在。因为只有把问题2“放下去”，我们才有可能真实的发现不同学生的不同状态，解读他们的所思所想，找到他们的学习起点。所有这些都是第二个环节学习的基础性资源。

为了使学生生成出丰富的基础性资源，我们不仅要对学生可能表现的各种状态进行估计，还要思考出现各种情况的应对策略。例如：当学生出现“思维定势”时，教师需要点拨和启发“只能移动C点吗？A点和B点也可以移动啊，试试看！”；当个别学生有两种或三种情况的思考时，教师需要鼓励和提出更高要求“我发现有的同学已有几种方案，想一想，怎样才能把所有的情况想周全？”；当个别学生一点也想不出时，教师可以给出具体指导“现在两个三角形是同一条底，把它们分开来行不行？”……

）。

第一次“收”：生生和师生之间互动，对基础性资源进行讨论。

“收上来”的过程可以分两步进行：先以小组交流活动的方式，讨论问题“黑板上同学画的各种情况，你看懂了吗？有没有画的两个三角形面积不相等（不符合问题要求）？如果符合要求，理由是什么？”；然后进行全班学生的交流和讨论。在讨论的过程中我们还要注意“收”的层次性：一要注意引导学生关注条件及符号表示，二要注意使学生对两个三角形的底完全重合、部分重合、完全分离等多种情形的条理性思考进行感悟，三要注意引导学生对每一种情况的特点进行提炼，如同一条底、同一条高、相等的底、相等的高，等等。

教学的第二环节：对大量感性材料的分类，提炼本质特征

第二次“放”：学生独立对图4中的各种情况进行分类处理。

在这个环节中主要是引导学生整体感悟“等底等高的三角形”的各种情形，让学生通过比较和分类，概括和归纳出等底等高的三角形面积相等的几类情况：一类是同底等高的情况，如图1中的①和图4中的⑧；一类是等底同高的情况，如图4中的③⑤⑦11；一类是等底等高的情况，如图4中的②④⑥⑨⑩。进而引导学生对材料的本质特征进行抽象和命名，把这三类情况概括起来简称为“等底等高”，这样就有可能使学生对“等底等高”的内涵形成丰富的认识。学生对图4中的材料会进行怎样的分类，自然是要“放下去”才能了解和发现他们的不同状态，也会生成出下一步需要讨论的教学新资源。

第二次“收”：生生和师生之间围绕分类的标准进行交流和讨论，提炼出三类情况的本质特征。此次“收”的目的是帮助学生把多种相对分散、局部性的认识，进行聚类、清晰化和结构化的处理，形成相对完整、丰富和较前更高水平的概括，提炼和抽象出“等底等高”的概念。

教学的第三环节：“等底等高”概念的变式和运用

第三次“收”：首先要交流练习完成的各种情况；其次要对梯形中面积相等的三角形却不是等底等高的三角形进行讨论（见图5）；最后要对本节课学习情况进行总结和反思。

第二部分拓展研究的教学设计：提出问题“如果两条平行线不是水平方向，又会产生和形成怎样的变化？”，引导学生对基本研究进行拓展和变式的思考。

总之，每一次的“放和收”都内含着“问题的提出——重心下放——资源回收——交互反馈——集聚生成”等步骤。通过“放”和“收”，使教学的过程成为师生共同参与并朝着教学目标行进的动态生成的过程。