活动时间：2008年4月11日

活动主题：小学数学“实践与综合应用”专题研讨

活动地点：常州市武进区湖塘桥中心小学

参与人员：常州市王冬娟名师工作室全体成员，新北区姚灵娣名教师培育室成员，湖塘桥中心小学数学教师

沙龙纪实：

王冬娟：“实践与综合应用”是《数学课程标准》中一个新增的领域。这个领域反映了数学课程与教学改革的新要求，也提供了学生进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道。理解和把握这个领域，对于推进课程建设和数学教学改革是非常重要的。但在现实教学中由于认识问题、时间问题、人员问题以及场地问题等诸多因素的制约，这部分内容正在成为教学的软肋。为了更好地履行工作室在课改中的职责，今天上午我们在湖塘桥中心小学再次实践了我们前期研究过的两个内容《实际测量》和《美妙的图形密铺》，并特邀常州市教研室副主任汪履平和盛宝良老师来给我们把脉。下面先请郭老师说说他对教材的研读和教学设想。

郭新华：我执教的是第十二册教材上的《实际测量》，教材将这一实践活动安排在“确定位置”单元之后，却没有涉及“确定位置”的相关知识，而在现实生活中实际测量往往和确定位置密切相关。为此，我对教材进行了重组：前一课时教学“目测”；第二课时教学“步测”，并将步测与确定位置有机地融进解决实际问题中，让学生在富有挑战性的游戏中实现对知识的内化。在学情分析上，学生已经积累了一些估测的经验，需要通过今天的实践活动将经验提升为科学方法。基于这样的分析，我确定了“掌握步测方法，熟知自己的步长”的底线目标，以及“提升与他人合作的能力和运用数学的乐趣”的发展性目标。为了达成这个目标，我设置了三个环节：一是引起认知冲突，在对学生课前估测数据及方法分析的基础上，引出步测需求；二是实际测量自己的步长，并用步长再次测量课前测量的距离，感知在“没有测量工具或对测量要求不十分精确时”，步测结果的相对可靠性；三是在寻宝与藏宝的游戏中，综合运用确定位置和步测的知识解决实际问题，积累活动体验，提升数学素养。

汪履平：重视数学的应用已经发展成为国际数学教育改革的一个基本趋势，数学发展到今天，与生活实际的联系更加紧密，学生应当形成应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为将来立足社会打好基础。而“实践与综合应用”领域的设置在改变学生的学习方式，提高解决问题能力，培养学生的实践能力和创新意识以及改善师生交往等方面都有着积极的、不可替代的作用。最近一段时间，我在一些学校调研时发现老师们对“实践与综合应用”领域的这一部分内容的教学虽然比较重视，但在具体实践中还存在许多问题，因此今天工作室的研究就显得尤为重要和迫切，而今天两位老师对教材的精心研读、对目标的准确定位、对内容的合理重组以及大胆实践，都给我留下深刻的印象。比如说郭老师执教的《实际测量》，课前让学生用自己的经验及已有知识去估测一段距离，课始通过对这些原生态数据的分析比较，让学生逐步产生对步测的期待，然后让学生在活动中逐步掌握步测的方法，并大胆设计了富有创造性的寻宝与藏宝游戏。这个活动不仅综合了测量的相关知识，还把有关方位的知识也融合进来，凸显了实践与综合应用的课程价值。我们经常发现课堂上学得好的学生一旦遇到实际操作就傻眼，新课程增添的这一领域的目的，就是要让学生在亲身经历应用数学知识解决实际问题的过程中提升学生的实践能力和数学素养。这两节课将成为一次成功的范例，它将给一线教师以新的启示。这是工作室奉献给课改的一份厚礼。

盛宝良：增添这个领域的目标并不仅仅是为了教给学生一些知识，培养一些技能，而是让学生在经历活动的过程中积累实践经验，逐步学会综合运用学过的知识和技能解决生活所面临的简单实际问题。因此这一类课程更应注重过程性目标，还有一个底线目标就是看每个学生是否都参与进来了，每个学生是否都经历了实践的过程。今天的两节课从设计意图上都很好地落实了过程性目标，郭老师在教学预设中给学生留了许多自己去估测、思考、讨论、体验、感悟的时间，这大量的时间就为每个学生的参与提供了很好的保障，每个学生都能在这样的预设中经历探索实践的过程。

孙 敏：在我看来，实践与综合运用的价值在于提升学生在具体情景中选择、判断、运用数学知识和技能的意识和能力。因此，教师应该从研究教什么、怎么教转变为对学什么、怎么学的研究。教师在精心设计的过程中做到了“心中有人”，有真实的、具体的学生。课前的户外活动加深了教师对学生的了解；课中针对学生的心理需求，设计了操作实践、反复验证的体验活动；特别是对抗游戏的设计，为学生提供了根据具体情境进行知识重组、策略选择和对比分析的实践平台，让学生在活动中挖掘思维深度、拓展思维广度，既有趣味性的体验，又有数学味的品尝，留给我们这些参与者跃跃欲试的冲动。

吴伟锋：是的，对教材的“合理开发”应以学生“如何学”为着眼点，让教材更好地服务于教学。郭老师在设计时能从班级情况、学生特点出发，因地制宜，采用多种策略与方式进行教学。如在教学“求平均步长”时，郭老师先让学生讨论行动方案，然后组织学生实验操作，最后进行反思总结。这样的设计，最大限度的激发了学生的内在潜能，有效地提高了学生解决问题的能力，增强了教材的探究性，提升了教学内容的品位。

汪履平：教学成功不仅在于课程目标的准确定位，也源于教师高超的教学技艺。郭老师的本身的教学艺术给我的影响很深，我觉得郭老师的上课能做到顺其自然。举个武功当中的例子，曾经有徒弟问霍元甲，“师父你的拳打得这么好，能教给我几个套路吗？”霍元甲回答，“拳无套路，顺其自然，这是最高境界”。上课也如此，顺其自然，才能水到渠成。你们看，教学中出现的“脚测”、“肩测”、在求平均步长时选用众数等生成性资源，以及对寻宝成功不同角度的评价，都展示了郭老师的教学机智，值得我们学习。

盛宝良：对此我也有同感。郭老师的课是在操场上进行的，而且是两节课连上。这样的内容、这样的场景，是一线教师最难以调控的，但郭老师通过对每一个活动时间的合理安排，以及活动形式的恰当运用（如游戏），紧紧拴住了学生的心，课堂活而有序，学生的思维与能力都得到很好的发展。

庄惠芬：郭老师以儿童的视角，为学生设计了一个开放的课堂，为学生的综合实践提供了充分的土壤和水份。孩子们面对真实情景中呈现的大量信息，调用已有的全部数学知识去猜测、验证，进而解决生活中的现实问题，充分展示了数学实践活动的生活性、实践性、研究性和开放性等特点，让我们感受了数学课堂的鲜活与灵动，孩子们感到有趣、有理、有用。“请你设计寻宝方案！”“哪一组的寻宝是成功的？”“在寻宝中最大的收获是什么？”问题逐层递进，在整合和创新中实现了数学实践活动的价值和意义。

周志华：是啊！尽管听了郭老师近一个半小时的课，但我丝毫没有感到累，因为我与学生一起在活动，我也沉浸在了探究的乐趣之中。我认为郭老师这节课最大的亮点是：打破刻意的雕琢，还课堂以“本真”与“自然”。郭老师带着学生走出教室，以小组为单位依据“数学”知识设计藏宝方案，藏好宝物，并撰写寻宝路线。然后依据提供的寻宝路线，交换寻找所藏的宝物和迷惑物。在活动过程中，每一位学生全身心投入，在过程中思考怎样藏更隐蔽，没有找到宝物的可能哪里出了问题？最精彩的是最后交流环节，学生反思寻找宝物的过程，甚至发现最终没有找到宝物的原因在于寻宝路线的错误。我认为，有没有找到宝物已经不再重要，重要的是学生在寻找失败原因的过程中再一次真实地运用了知识，发现自己在知识点学习中存在的问题，以“本真”“自然”的状态真正经历了探索体悟的过程。

吴红琴：正如周老师所说，《实际测量》中“寻宝探秘”的部分是这节课的亮点，其过程充分显示了个人的才干以及组员之间的相互合作，有绞尽脑汁的辛苦，也有得来全不费功夫的惊喜，有的对同学说：“你们掘地三尺也找不到”，有的对监督员说：“你可不能出卖我们的秘密”， 有的说：“顺着小树的偏东60方向，一眼就可以看到篮球架，我们就沿着这个方向找过去，很快就找到了。”听听他们的汇报，看看他们的表情，尽是乐趣，充满了智慧！

王冬娟：郭新华老师执教的《实际测量》是对传统教学的一次突破。刚才两位专家和各位老师从不同的角度分析了这节课的成功之处，但作为研究，甚至期待在面上进行推广，更需要我们以负责的态度和敏锐的眼光去捕捉问题，并进行有效的重建。下面是否请各位就这节课存在的问题，给我们进行诊断并提出重建的建议。

汪履平：在今天郭老师的课上，有一个明显的不足。因为教师预设学生课前测量距离时，“步测”的优势会比较明显。但学生实际测量的结果却没有凸显“步测”优越性，此时郭老师非常为难，一直纠缠在步测与目测两种方法优劣的比较上。这说明教师人为抬高了今天教学内容的价值，结果可能适得其反。其实，“步测”只是在没有工具、要求又不是很精确的前提下若干种方法中的一种，我们没有必要与目测在精确度上作比较。因此，我设想，开头是不是可以这样设计：问学生我站在这里到墙角有多少距离，手边没有工具，然后放开让学生讨论，有哪些测量的方法。学生可能会讨论出用拓、肩测、目测、大步跨等方法，也会想到用步测的方法。通过讨论，觉得用目测不行，精确测量又没有工具，最后学生能产生用步测的需求，就可以了。今天估测的是一段直线距离，如果估测一段弯弯曲曲的长度，用目测比较困难，步测的优势就体现出来了。因而我建议，郭老师可以修改一下教学目标，把步测比目测好这个目标删掉。

周志华：郭老师的第一课时可以更“自然”些，是不是可以这样进行重建。首先在课本对“实际测量”教学的要求下，课前请学生选择校园的一段距离，测量出具体的长度并记录下来。课始交流测量情况，依据场地的实际情况，有的同学选择了“目测”，有的“步测”，有的“脚测”，有的选择“参照物”进行估测……通过交流，发现测量的方法很多，有的可信度高一些，有的低一些，可以根据实际的情况灵活选择。接着聚焦同样用“步测”的方法，但是他们测出的数据差异比较大？这是什么原因呢？怎样提高“步测”的可信度？在与学生的共同探讨和交流中学生体会到：首先必须科学地得出“步长”，科学地确定自己的“步长”成为第一项活动内容。让学生在活动过程中体会到：不能跨大步，要自然地走，才能比较科学。

王冬娟：虽然郭老师已经在实践与综合应用领域做出了重大的改革，但还需要不断地反思与改进，我们期待着郭老师给我们带来新的惊喜。下面是否请陈老师介绍一下自己的思考于实践。

陈彦：《平面图形的密铺》是探索平面图形的镶嵌和拼图问题，这节课已经是我第三次执教。第一堂课学生很轻松地学会了密铺的知识，而且也感受到了密铺的乐趣，但我总觉得缺少了什么，仔细想想，就是缺少了数学的味道，缺少了对数学的理性思考，学生仅仅知道无空隙、不重叠，而在判断能否密铺时，学生仅仅停留在操作层面，因为拼不出，所以不能。五边形为什么不能密铺，到底什么样的图形能密铺，学生还有困惑。因此在第二次执教时进行了重建：一是让学生围绕“五边形为什么不能密铺”思考原因，得出一个图形密铺必须满足两个条件（相邻多边形要有公共边；同一个点上各个角之和是360度），随后我又补充了任意四边形、三角形的密铺，让学生从理论上进行推断。最后，基于正五边形不能密铺，通过它与平行四边形的组合进行密铺。于是，我分四个层次进行教学：第一个层次增添了正三角形、正方形、正五边形、正六边形这些图形的内角和与每个角度数的练习，为他们学习新知扫清障碍。第二层次呈现生活中的密铺场景，感受图形密铺无空隙、不重叠、铺在一个平面上的特点；第三层次是通过学生猜测和操作，验证平行四边形、梯形、三角形、圆和正五边形能否密铺，并尝试运用七巧板中两种不同图形探索组合图形的密铺，通过动手实践和逻辑推理，探索平面图形密铺的特点；第四个层次是欣赏两种不同图形进行密铺的图案，并尝试进行密铺创作。通过欣赏密铺图案和设计简单的密铺图案，进一步感受图形密铺的奇妙，获得数学美的体验，提升学生的审美情趣。同时引发学生对数学本身的兴趣，培养学生的创造性思维。

盛宝良：陈老师通过自己前期的实践与反思，调整了原有的教学预设，让学生在自主猜测、动手操作、思考推理等过程中逐步抽象出了图形密铺所需的两个条件，并在拼七巧板和欣赏美妙的图案中进一步感受了图形密铺的奇妙，获得了数学美的体验。这样的实践活动，使学生对密铺的理解不只停留在对概念“无空隙、不重叠”的熟知中，更能进入到学生的亲身经历和过程体悟中，过程性目标有效达成。

汪履平：陈老师的课堂艺术我也很欣赏，特别是今天一上课的一个细节，学生说正六边形的每个内角的度数是180度，这显然是错误的，但陈老师就像王小丫一样不动声色，不问对错郑重地将学生的回答写在黑板上，写完后，才轻描淡写得问了一句，“还有没有不同意见？”老师其实早就知道答案是错误，但这样做是对学生劳动成果的一种尊重，不管对错，这个答案都是学生经过思考后得出的，只不过是不够细致。只要我们强调让学生注意“细致”这个非智力因素，我想要比直接否定学生的答案给学生的帮助更大。听完这节课，我更深刻地理解了孔子很早就提出的“教学半”的观点，只有通过我们一线教师睿智而理性的教，才能促动学生积极而有效的学，这样教与学相互辅佐，融为一体，相辅相成，从而达到最佳的教学效果。

吴红琴：《图形的密铺》不仅提高了学生的实际操作能力，并通过什么样的图形能够密铺的探究，提升了学生的数学智慧。陈老师在揭示了正五边形为什么不能密铺之后，并没有就此停留思考的脚步，而是把若干个相同的任意四边形交给学生，激活学生新的探究欲望。当学生发现只要把四个不同的角放在一起就围成了360度的角时，学生的思维已经实现了从“知其然”到“知其所以然”的一次飞跃，结论自然水到渠成。

姚灵娣：张奠宙曾说过：数学成果通常具有三种不同的形态，第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态；其次，是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态；最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态。事实上，教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”。在《图形的密铺》一课中，陈老师巧妙地把数学的学术形态转化为教育形态，为学生提供了大量的素材和操作机会，引导学生用眼睛去发现美，有心灵去感受美，用双手去创造美！老师期待的眼神，激励的语言，给孩子们增添了许多信心，学生积极主动地投入思考，较好地接受、理解了隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质。

王冬娟：在陈老师的课中，有同学提出“水立方”上的图案是图形的密铺，这到底该如何解释？我们对此缺乏深入的探究，能否请盛老师给于我们指导？

盛宝良：我们所学的密铺是一个平面图形上的密铺，这是一种纯几何的提法，去除了具体操作材料的因素，只与铺的图形的平面形状有关。比如说用香烟盒在桌面上进行拼铺，因为香烟盒的厚度不一定相同，所以表现在外部可能并不是一个平面，但香烟盒的底部是一个长方形，我们就可以说是长方形在桌面这个平面上的密铺。因此从这点来考虑，水立方虽然外部可能不是一个平面，但如果从中间切面来看的话，它应该也是密铺。其实，在实践与综合应用课的教学中，一线教师经常会遇到不甚明了的问题，要加强研讨、多查找资料，通过学习提升自己的学科素养，为学生的发展创造更好的条件。

汪履平：陈老师这节课，如果层次再清晰一些就更好了。密铺其实可以分为单独图形的密铺与组合图形的密铺两个层次。第一层面研究单独图形的密铺，那就有可密铺与不可密铺之分，就可以对不可密铺的图形进行猜想，就有猜想的价值。这个层面研究完了以后，如果老师再给出另外一个图形，能不能密铺，这就是组合图形的密铺，就进入了第二个层面，动手创作、七巧板拼图等等，思维就提升了。

吴红琴：正五边形能否密铺是学生争论的焦点，有的学生认为把正五边形一个接一个拼成一条长龙的形状也是密铺，陈老师是用语言叙述的方式解释把几个正五边形铺在一起不能围成一个周角，我觉得可以用图示的办法，对照图，让学生观察：把三个正五边形围起来后得到一个324度的角，离铺满一个周角还有空缺，如果再铺一个正五边形就产生了重叠，然后把前后两次的图进行对比，可以让学生更清晰地认识到，只有把图形绕一个点上下左右铺满才是密铺，前者的铺法不符合密铺的条件。

陈美华：从今天陈老师的课中可以发现时间分配上还存在问题，侧重了对图形密铺条件的探究后，学生用不同图形进行密铺的创作就没有时间了，后面的欣赏也比较草率，因此如何安排好课中每一个环节的时间也是一个值得探讨的问题。

盛宝良：谈到欣赏，我觉得有一个欣赏什么的问题。是欣赏数学美，还是欣赏图案中的创新之处。数学美当然要欣赏，但是大师埃舍尔是如何想到这样去设计图案的？比如说，几个长方形铺在一起，如果借助动态的过程就完全可以体现创造的张力，将长方形对角一拉变成平行四边形，或者将公共边变弯等等，就可能会慢慢转到大师埃舍尔的图案中去了。刚才我们欣赏的大师图案都是一些一模一样的人，或一些一模一样的天鹅，其实铺在一起的人和动物都有公共边、公共顶点，只不过是将原来直的公共边变弯了，如果慢慢还原的话，就会得到标准的长方形、正方形等等。这些都是一种变化，是创新意识在发挥作用。因此欣赏到底欣赏什么，我想一方面要欣赏图案本身的数学美，另一方面就是要欣赏他是怎样创造数学美的。

王冬娟：感谢汪主任和盛老师的指导，感谢湖塘桥中心小学的学生和领导。今天的活动行将结束，一天的实践与研讨，让我们感受了“从冰冷的美丽到火热的思考”，经历了“学术形态”向 “教育形态”的转化过程，让原本具有发展“可能性”的数学教材转化为学生数学成长的“现实源泉”。我坚信，今天的研讨将点染“实践与综合应用”研究领域的新绿，在实践者探索的足迹中，化作课改中一抹醉人的绿色。