一家药店收到运来的某种药品十瓶．每瓶装药丸1000粒．药剂师怀特先生刚把药瓶送上架子，一封电报接踵而来．怀特先生把电报念给药店经理布莱克小姐听．

怀特先生："特急！所有药瓶须检查后方能出售．由于失误，其中有一瓶药丸每粒超重10毫克．请即退回分量有误的那瓶药．怀特先生很气恼．

怀特先生："倒霉极了，我只好从每瓶中取出一粒来秤一下．真是胡闹．

怀特先生刚要动手，布莱克小姐拦住了他．布莱克小姐："等一下，没必要秤十次，只需秤一次就够了．这怎么可能呢？

布莱克小姐的妙主意是从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，第三瓶中取出3粒，以此类推，直至从第十瓶中取出10粒．把这55粒药丸放在秤上，记下总重量．如果重5510毫克，也就是超过规格10毫克，她当即明白其中只有一粒是超重的，并且是从第一瓶中取出的．

如果总重量超过规格20毫克，则其中有2粒超重，并且是从第二瓶中取出的，以此类推进行判断．所以布莱克小姐只要秤一次，不是吗？

六个月后，药店又收到此种药品十瓶．一封加急电报又接踵而至，指出发生了一个更糟糕的错误．

这一次，对超重药丸的瓶数无可奉告．怀特先生气恼极了．怀特先生："布莱克小姐，怎么办？我们上次的方法不中用了．布莱克小姐没有立即回答，她在思索这个问题．

布莱克小姐："不错．但如果把那个方法改变一下，我们仍然只需秤一次就能把分量有误的药品识别出来．这回布莱克小姐又有什么好主意？

在第一个秤药丸问题中，我们知道只有一瓶药丸超重．从每瓶中取出不同数目的药丸（最简单的方式就是采用计数序列），我们就可使一组数字和一组药瓶成为一一对应的关系．

为了解决第二个问题，我们必须用一个数字序列把每瓶药单独标上某个数字，且此序列中的每一个子集必须有一个单独的和．有没有这样的序列？有的，最简单的就是下列二重序列：1，2，4，8，16，．．．这些数字是2的连续次幂，这一序列为二进制记数法奠定了基础．

在这个问题中，解法是把药瓶排成一行，从第一瓶中取出1粒，从第二瓶中取出2粒，从第三瓶中取出4粒，以此类推．取出的药丸放在秤上秤一下．假设总重量超重270毫克，由于每粒分量有误的药丸超重10毫克，所以我们把270除以10，得到27，即为超重药丸的粒数．把27化成二进制数：11011．在11011中自右至左，第一，二，四，五位上的"1"表示其权值分别为1，2，8，16．因此分量有误的药瓶是第一，二，四，五瓶．

在由2的幂组成的集合中，每个正整数是单一的不同组合中的元素之和．鉴于这一事实，二进制记数法极为有用．在计算机科学和大量应用数学领域中，二进制记数法是必不可少的．在趣味数学方面，同样也有难以计数的应用．

这里有一个简单的扑克魔术，可叫你的朋友莫名其妙．这个戏法也许看上去与药瓶问题毫无关系，但他们的依据是相同的，都是二进制原理．

请别人把一副牌洗过，然后放进你的口袋，再请人说出一个1至15以内的数字．然后你把手插进你的口袋里，一伸手就取出一组牌，其数值相加正好等于他所说的数字．

此秘密简单的很．在耍魔术之前，预先取出A，2，4，8各一张放入口袋．这副牌缺少区区四张，不大可能为人察觉．洗过的牌放入口袋后，暗中将其排置于原先已经放在口袋中的四张牌的后面．请别人说出一个数字，你用心算将此数表示成2的幂的和．如果是10，那你就应想到：8+2=10，随即伸手入袋，取出2和8的牌示众．

卜算卡片的依据也是二进制原理，准备六张卡片，分别记为A，B，C，D，E，F．然后将一些数字填写在卡片上，确定每张卡片上的数字集合的规则是这样的：在一个数的二进制表示中，若右起第一位是"1"，则此数字就在卡片A上．该卡片上的数字集合自1起始，全部数字就是1至63范围内所有的奇数；卡片B则包括1至63范围内的二进制记数法中右起第二位为"1"的全部数字；卡片C包括1至63范围内的二进制记数法中右起第三位为"1"的全部数字；卡片D，E，F以此类推．注意：63这个数字的二进制记数法是"111111"，每一位都是"1"，因此每张卡片上都有这个数字．

这六张卡片可以用来确定1至63范围内的任意一个数字．请一位观众想好此范围内的一个数字（例如某个人的年龄），然后请他把所有上面有此数字的卡片都交给你．你随即说出他心中所想的那个数字．秘诀就是把每张卡片上2的幂的第一个数字相加．例如，如果把卡片C和F交给你，你只要将上面第一个数字4和32相加，便知道别人心中所想的数字是36．